Der Bayes'sche Ansatz gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, ob ein Kandidat zur Gruppe der gesuchten Merkmalsträger gehört unter der Bedingung, daß der Kandidat ein Kriterium erfüllt und er willkürlich aus der Population herausgegriffen wird. Voraussetzung ist lediglich, daß folgende Informationen gegeben sind oder angenommen werden können:
 

Kürzel	Bedeutung
p(m+)	Merkmalsträger-Rate in der Population
p(m-)	Kein Merkmalsträger-Rate in der Population p(m-)= 1 - p(m+)
p(v+|m+)	Verfahrenspositiv-Rate unter den Merkmalsträgern (Treffer-Rate I)
p(v+|m-)	Verfahrenspositiv-Rate unter den Nichtmerkmalsträgern (Fehler-Rate I)
p(v-|m+)	Verfahrensnegativ-Rate unter den Merkmalsträgern (Fehler-Rate II)
p(v-|m-)	Verfahrensnegativ-Rate unter den Nichtmerkmalsträgern (Treffer-Rate II)

wobei bedeute:
 

m    =: Merkmal	v   =: Verfahren
m+  =: Merkmalsträger	v+ =: Verfahrens-Positiv
m-  = Kein Merkmalsträger	v-  =: Verfahrens-Negativ

Damit kann nun ein Schema wie folgt gebildet werden:
 

Merkmalsträger \    Verfahren	Verfahrens-Positiv v+	Verfahrens-Negativ v-
Merkmalsträger m+	p(m+v+)	p(m+v-)	p(m+)
Nicht-Merkmalsträger m-	p(m-v+)	p(m-v-)	p(m-)
	p(v+)	p(v-)	1

Dies führt zur Bayes-Formel:
 

p(m+)* p(v+|m+) p(m+|v+) =  _______________________________             p(m+)*p(v+|m+) + p(m-)*p(v+|m-)

1. Anwendungs-Beispiel tbc-Test  nach GOLDBERG 1973 S.97

Von tbc Kranken werden     p(v+|m+)= .90  durch Röntgen entdeckt,
                           p(v-|m+)= .10  bleiben unentdeckt
Von den tbc-Freien werden  p(v-|m-)= .99  als solche erkannt,
                           p(v+|m-)= .01  falsch verdächtigt.
tbc Rate der Population    p(m+) = .001

p(m+v+) = .001 *.90 =.00090 (tbc-Träger und röntgen-positiv)
p(m+v-) = .001 *.10 =.00010 (tbc-Träger und Nicht-röntgen-positiv)
p(m-v+) = .999 *.01 =.00999 (Kein tbc-Träger und röntgen-positiv)
p(m-v-) = .999 *.99 =.98901 (Kein tbc-Träger und nicht-röntgen-positiv)
 
 

Merkmalsträger \    Verfahren	röntgen-positiv	röntgen-negativ
tbc	.00090	.00010	.001
Nicht-tbc	.00999	.98901	.999
	.01089	.98911	1.000

Einsetzen in
 

                         p(m+)* p(v+|m+)
    p(m+|v+) =  -------------------------------
                p(m+)* p(v+|m+)+ p(m-)* p(v+|m-)

ergibt

                         .001 * .90
    p(m+|v+) =  -------------------------------
                .001 * .90    +    .999 * .01
 

p(m+|v+) = .0009/(.0009 + .00999)
p(m+|v+) = .0009/.01089
p(m+|v+) = .083
 

Traditionelle Bayes'sche Ergebnis-Interpretation:
 

Die Wahrscheinlichkeit, daß jemand, der willkürlich aus Population herausgegriffen wird, tatsächlich an tbc erkrankt, wenn er röntgenpositiv ist, ist p=0,083 oder  8,3%.

Man kann nun darüber streiten, ob diese traditionelle Ergebnisinterpretation so sinnvoll ist. Die meist unerwartet kleine Zahl suggeriert, als sei es sehr schwierig, einen Merkmals- Befund zu diagnostizieren:

Warnung
 

Das Bayes'sche Theorem wird manchmal auch benutzt, um zu überraschen und den gesunden Menschenverstand, der trotz (oder gerade auch ;-)) Wissenschaft, Statistik und Bayes natürlich seine Berechtigung hat - neben seinen Fehlern, Mängeln und Schwächen - zu erschüttern, weil viele Ergebnisse schwer zu glauben sind bzw. sich teilweise sogar paradox anhören. Das ist meist dann der Fall, wenn ein Merkmal in einer Population eine extreme Verteilung vom Typ 1 : 100 oder noch ausgeprägter hat. Nicht selten kommt das ungläubige Moment, gegen das sich unser Verstand und unsere Erfahrung sträubt, daher, daß zwei Sachverhalte vermischt werden, die in unserer Anschauung wenig oder keinen Erfahrungsfokus haben. Auch mit fast 100% treffsicheren  Tests erzielt man bei einer solchen verschränkten Betrachtung tendenziell eher unwahrscheinliche und dem gesunden Mesnchenverstand und der Ewartung daher widersprechend anmutende Ergebnisse.

Würfelte man in unserem Beispiel, ob jemand rönten-positiv ist, so wäre die Chance 1:1000.
Setzt man die diagnostische Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, daß jemand röntgen- positiv ist p(v+|m+) = 0,083 zur Würfelwahrscheinlichkeit p=(m+) = 0,001 in Beziehung, so ergibt sich, daß die Wahrscheinlichkeit durch das Diagnoseverfahren Röntgen um das 0,083/ 0,001 = 83-fache verbessert wird. Und diese Betrachtung stimmt nun wieder sehr gut mit unserer Intuition und dem gesunden Menschenverstand überein. Die Validitäts-Trefferquote war im Beispiel 90%, d.h. die Fehler- oder Irrtumsrate 10%. Anders gesagt: Von 10 tbc Kranken werden nach den obigen Voraussetzungen 9 entdeckt, einer wird falschlicherweise nicht erkannt. Hinzu kommt der 2. Fehlertyp der Falsch Positiv Diagnostizierten.

Und die Konsequenzen für Validitätsangaben: Müßte man nicht für jeden Test fünf Gütemaße (Validitäten) angeben?, nämlich:
 

Richtige Diagnosen bei denen, die das Merkmal haben: p (D=wahr: X hat M). [Sensititvität = p(positives Testergebnis | Merkmalsträger)] Falsche Diagnosen derer, die das Merkmal haben: p (D=falsch: X hat M) Richtige Diagnosen bei denen, die das Merkmal nicht haben: p (D=wahr: X hat M nicht). [Spezifität = p(negatives Testergebnis | kein Merkmalsträger)] Falsche Diagnosen derer, die das Merkmal nicht haben  p(D=falsch: X hat M nicht) Gesamtmaß, das 1-4 zueinander in beziehung setzt und einer Zahl trefflich ausgedrückt wird.

Hierfür spricht sich auch Massimo Piatelli-Palmarini (dt. 1997, S. 102) aus.